当变量x趋近于0时，一些重要函数的行为可以近似表示为无穷小关系：

sinx 约等于 x

tanx 也近似等于 x

arcsinx 的反余弦值接近于 x

arctanx 的反正切值同样近似为 x

这些关系表明，当x非常接近0时，函数与x的差异可以无限小，从而形成了极限的概念。这个概念由外尔斯特拉斯严格定义，即ε-δ定义或ε-Ν定义，它是数学分析的核心基础。极限描述了变量在接近某个值时的趋势，是分析学的基石，用于研究函数、连续性、微分、积分和级数等概念。

理解极限的精确含义对于数学分析的整个理论、计算和应用至关重要，它是保证分析方法可靠性的关键。历史上的柯西最早给出了较为明确的极限定义，他指出，当一个变量的所有值都无限接近同一定值时，我们说这个值是该变量的极限。