本文主要介绍高等数学中关于反常积分的概念与判断方法，包括两种类型：无穷限反常积分和无界函数的反常积分。

对于无穷限反常积分，其定义为：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，对于任意c属于(a,b)，f(x)在[c,b]上可积，若存在极限F(b)-F(c)，则称此极限为无穷限反常积分，并记作∫f(x)dx从c到∞或从-∞到c。若此极限存在，则称反常积分收敛；否则，反常积分发散。

对于无穷积分的定义，若同时存在两个无穷限反常积分，则它们的和可以定义为区间上的反常积分。

无穷限积分敛散性的判别有定理1和定理2，其中定理1表明若f(x)在[a,b]上连续，且在[c,b]和[a,c]上可积，则两个无穷限积分之和收敛于[a,b]上的反常积分。

定理2是关于比较法的，若f(x)非负且在[a,b]上有界，则可以将f(x)与某个已知函数g(x)进行比较以判断无穷限积分的收敛性。

例题包括了无穷限积分收敛性的判断，例如∫x^(-1)dx从1到∞发散，而∫e^(-x)dx从0到∞收敛。

对于无界函数的反常积分，定义为：设函数f(x)在区间[a,b]上有界但无界，对任意c属于(a,b)，f(x)在[c,b]上可积，若存在极限F(b)-F(c)，则称此极限为瑕积分，其中c为瑕点。若此极限存在，则称瑕积分收敛；否则，瑕积分发散。

瑕点的定义和判断是关键，若f(x)在x=a或x=b处无界，则称a或b为瑕点。如果瑕点a为瑕点，且f(x)在[a,b)上可积，则可以定义∫f(x)dx从a到b。

无界函数积分的收敛性判断方法与无穷限积分基本相同，主要采用柯西准则进行判断。

例题如∫1/√(x-1)dx从1到3，其瑕点为x=1，通过变换变量可以判断其收敛性。