在解决最优化问题时，牛顿法与梯度下降法的差异主要体现在收敛速度与路径选择上。牛顿法之所以被认为比梯度下降法更快，是因为它在寻找最优解的过程中采用了二阶收敛策略。

想象你正站在一个山谷中，目标是找到最低点。梯度下降法则每次仅基于当前所在位置的斜率选择下一个步进方向，而牛顿法则在决定方向时不仅考虑斜率的大小，还会预测下一步可能的方向性，从而做出更明智的决策。可以说，牛顿法在“远见”方面略胜一筹，能更快地抵达谷底。

从几何角度分析，牛顿法通过构建二次曲面来拟合当前位置的局部曲面，而梯度下降法则使用平面。通常情况下，二次曲面的拟合效果更为精确，这意味着牛顿法选择的下降路径更加贴近真实最优路径。

为了更直观理解这一过程，我们借助了维基百科提供的示意图。图中，红色曲线代表牛顿法的迭代路径，绿色曲线则对应梯度下降法的路径。通过比较这两条路径，我们可以清晰地看到牛顿法在逼近目标区域时的高效性。