分析：通过证明两组三角形全等，得到两组线段相等：EG=FH，EH=FG，利用“两组对边相等的四边形是平行四边形”证明四边形EGFH是平行四边形。

证明：由“平行四边形ABCD”,“G和H分别是BC、AD的中点”两个条件可知 AH=CG,

由“平行四边形ABCD”，可知 ∠DAC=∠BCA,

由“平行四边形对角线互相平分”，可知OA=OC，OB=OD（设对角线交点为O），易证 △DFO ≌ △BEO(AAS) 有OF=OE,所以 AF=CE,AE=CF；

综合以上三条，可证△AHF ≌ △CGE,△AEH ≌ △CFG,

从而有HF=GE,EH=FG,所以四边形EGFH是平行四边形。