这一章主要介绍有限群的基本性质。首先，解释有限群的定义：群元素为有限个的群就是有限群。对于初学者而言，有限群较为容易接受。本章主要分为三部分：如何描述一个有限群、例子：几个简单的有限群、有限群的主要性质。

一、有限群的描述：如何给定一个群？给定了所有群元之后，此时就只需要确定群乘法。群乘法可以一般地记作^m·_n，所以一共只有^mn种可能的群乘法组合。为了让形式看起来简洁易懂，可以把所有的乘法表示为群乘法表。一旦给定了群乘法表，有限群的一切信息都完全给定了。进一步地，选择尽可能少的一部分群元，使得除了单位元以外的所有群元都可以用这部分群元的乘积表示。这部分群元称为有限群的生成元，有限群生成元的个数称为有限群的秩。

二、例子：几个简单的有限群。考察几个低阶群的结构。给定群的阶数，不同阶数的群可能拥有截然不同的结构。更合理的分类方式应该从群的结构入手。这里给出的群，都只关心群的结构，而不关心群元的具体内容。

三、有限群的主要性质——感受数学的神奇。虽然群乘法表已经完全确定了一个有限群，但实际上我们研究有限群主要是试图理解它的各种性质。首先考察群乘法表本身的性质。进一步地，研究有限群的几种重要子集，如子群，以及由此导出的性质。例如，利用陪集可以由子群生成一个新的子集，并且选取不同的群元可以得到不同的陪集。利用群的阶与子群阶的关系，可以得到一些有趣的结论。此外，讨论不变子群和共轭类的概念，以及如何找到不变子群。最后，对于复杂的群，如何通过“拆解”它的结构来更好地理解它的性质。这一部分首先讨论如何将复杂的群分解为更基本的群，再简单介绍有限群的“基本粒子”。通过同态理论，可以利用小群反映大群的部分性质。在有限群理论中，已经能找到所有“基本粒子”——单群，以及将任意有限群分解为单群的方式。至此，有限群理论的框架已经基本完备。