1. 内接正十二边形面积的计算：刘徽提出了一个计算圆形内接正十二边形面积的公式。他建议以内接正六边形的一边BC的长度乘以圆的半径AH，然后再乘以3，即可得到内接正十二边形的面积。当圆的半径为1时，内接正十二边形的面积为3。

2. 出入相补原则的应用：刘徽利用出入相补的原则来证明上述公式。他首先画出一个长方形FGED，其面积为BC乘以AH。然后，他用三角形AHC来补充虚三角形AGC，并用三角形CMH来补充虚三角形CEH，从而得到一个正方形AGEH。这个正方形的面积是两个三角形AHC的面积之和。因此，长方形FGED的面积是正方形AGEH的面积的两倍，也就是四个三角形AHC的面积。

3. 面积公式的推广：刘徽进一步推广了这个面积公式，指出圆内接2N边形的面积也可以通过将圆内接N边形的一边长度乘以圆的半径来计算。

4. 割圆术与圆面积的逼近：刘徽的割圆术是基于圆面积论的。他论证了将圆分割成多边形，分割得越细，多边形的边数越多，多边形的面积就越接近圆面积。他通过割圆的方法，逐步逼近圆面积。他首先将圆分割成六边形，然后是十二边形，二十四边形等，面积逐渐接近圆面积。

5. 余径的概念：在割圆的过程中，刘徽指出，每次分割都会留下一个半径长度的一段，称为余径。随着分割的进行，余径趋向于0，而长方形ABCD的面积也趋向于0。

6. 圆面积公式的进一步证明：刘徽进一步证明了圆面积可以通过圆的半周长乘以半径来计算。他还提出了一个公式，表示多边形的面积是多边形的半周长乘以边长。

总结：刘徽通过割圆术和出入相补原则，提出了计算圆形内接或外切正多边形面积的公式，并进一步推广到了圆面积的计算。他的研究为后世的数学发展奠定了基础。