最近发现同学们在动点和动线段问题上表现得相当出色，但对于角的动态问题却显得有些困惑。

动点和动线段是在直线上运动的，属于一维空间，加上学习时间较长，因此理解和掌握起来较为容易。

然而，角已经是平面上的概念，动边和动角属于二维空间上的运动，与直线上的动点问题相比，不容易想象，更不用说在高中时还要考虑三维空间内的运动了。

如果对一些角的动态问题或角的等量关系不理解，可以将它们降维，转化成直线上的动点动线段来理解。充分理解后，就可以直接解决关于角的问题。在学习立体图形时，也可以先在平面上降低难度，例如三视图就是非常典型的方法。

下面举例研究它们的相同之处。

例1：如图，OM是∠AOB的角平分线，ON是∠BOC的角平分线，这是一个典型的双角分线。

我们再看线段的双中点，它们是不是很像。

经常用到的等量关系分别是∠AOC=2∠MON和AC=2MN。通过这两个等量关系列出的方程也是一样的。

总结一下：边相当于点，角相当于线段。

例2：将例1中相邻的两个角(线段)拉开一些，它们的本质也是一样的。

根据角分线定义，容易得到的等量关系是∠AOD-∠BOC=2(∠MON-∠BOC)和AD-BC=2(MN-BC)。根据这两个等量关系可以轻松列出方程。

例3：将例1中相邻的两个角(线段)拉近一些(重合一部分)，同学们可以自己试一下，找出等量关系。

动点与动边

例4：直线AC上，∠AOB=30°，ON始终是∠AOB的角平分线。射线OB绕着点O，以5°/秒的速度顺时针旋转t秒后(没到OC)，求此时∠NOC的度数。

如果是动点的话，相当于下面的问题。

例4′：已知线段AC=180厘米，点B是AC上的动点，点N始终是AB的中点，如果点B从距离A点30厘米的位置，以5厘米/秒的速度向C运动(没到点C)，那么t秒后，NC的长度是多少。

所求用表达式表示，都是：180-(30+5t)/2

动线段与动角

例5：数轴上两个点A，B对应的数是32和58。如果线段AB沿着数轴向左移动一段距离后，B点与原点的距离是7时，B点对应的数是多少。

例5′：如果变成动角的问题：如图，∠AOB的顶点O在直线MN上，∠AOM=32°，∠BOM=58°，如果∠AOB绕着顶点O逆时针旋转，当∠AOM=7°时，∠BOM的度数是多少。

它们的本质是一样的，分情况讨论一下，容易得出答案33或19。

当我们对一个问题不明白时，可以用我们已经掌握的知识来帮助理解，这样可以锻炼思维，真正做到举一反三。

谢谢家长和孩子们的支持