解：首先 四边形ADEF是平行四边形

证明需两个步骤，如下：

①∵BC=BE，AB=DB，∠DBE+∠ABE=∠ABD=60°，∠ABC+∠ABE=∠EBC=60°

∴∠ABC=∠DBE

在△EDB与△CAB中

｛BE=BC,

∠DBE=∠ABC，

DB=AB｝

∴△EDB≌△CAB （SAS）

所以DE=AC

又∵AC=AF

∴DE=AF

②∵BC=EC,AC=FC,∠ACB+∠ACE=∠BCE=60°，∠ECF+∠ACE=∠ACF=60°

∴∠ACB=∠ECF

在△ABC与三角形FEC中

｛AC=FC,

∠ACB=∠ECF,

BC=EC｝

∴△ABC与≌FEC (SAS)

∴AB=EF

又∵AB=AD

∴AD=EF

综合步骤①和步骤②得出的结果：

在四边形ADEF中：DE=AF，AD=EF

∴四边形ADEF是平行四边形

（2）要想四边形ADEF是矩形时，∠DAF=90°

则∠BAC=360°-∠BAD-∠CAF-∠DAF

=360°-60°-60°-90°

=150°

即当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形