目前，大峪沟三号井排出的矿坑原水和本次配制的煤矸石矿坑水混合液要实现达标排放，关键的问题是提高废水的pH值。上述实验证明，黄土的掺入是一可行的办法，但需考虑黄土的采挖运输等成本和加入过程中有可能带来的矿化度增高、水质咸化等问题。因此，如何科学合理地控制煤矸石、矿坑原水和黄土三者的比例，使处理后的水既能达到国家规定的排放标准，又能以最少的黄土使用量处理最多的煤矸石和矿坑水，就成为煤矿山废物综合一体化处理方案中一个不可回避的问题。

这一问题实际上就是一个线性规划问题。线性规划是20世纪初由法国数学家Fourier提出，1947年G.Dantzig提出单纯形法求解线性规划问题，使解线性规划的方法通用化。单纯形法的基本思想是:根据问题的标准型，从可行域中任意找出一个基本可行解(称为初始基本可行解)，从这个解出发，转换到另一个基本可行解(顶点)，并保证目标函数的值逐渐增大，当目标函数达到最大值时，就得到了问题的最优解。对于一个实际问题进行线性规划时，应包括以下几方面内容:①首先要根据已知条件及所要求的问题，用一组变量x₁，x₂，x₃，…，x_n来表示，这些变量称为决策变量(decision variable);②每一个问题都有一个目标，以决策变量的线性函数来表示，称为目标函数，它是衡量系统优劣的标志，体现了最优规划的一种准则;③每一个问题都有一定的限制条件，这些条件称为约束条件，是用一组线性等式或不等式来表示的。

受时间、条件的限制，上面所讲的最优化方案的获取不可能通过各因子交叉实验来实现，为此，本次研究运用了系统工程中寻求最优化方案的技术予以解决。

研究过程分以下几个步骤。

1)选取约束条件:约束条件的选择应以废水排放的国标为准，兼顾Ca²⁺、Mg²⁺、SO₄^2－、矿化度等非限制指标使其尽可能地保持较低浓度。上述实验表明，三者混合液pH值增高的同时，Ca²⁺、Mg²⁺、SO₄^2－和Fe、Mn离子的浓度呈下降的态势，所以，可用pH值为6作为该问题的约束条件。另外，上述实验是在常温常压和有氧环境中进行的，固液比保持1∶5，煤矸石与黄土的混合比保持在1∶1～100∶1的范围内，这些也是约束条件，即运筹计算时可行解域不得超出这个范围。

2)目标函数的建立:在最优化决策中，每一个问题都有一个明确目标。这个目标以决策变量的函数式来表达，称为目标函数。本次研究的问题是以满足前面约束条件的前提下，黄土掺入量最少为待求方案，所以目标函数中包括了煤矸石、矿坑原水、黄土和pH值四个决策变量，前三者与pH值的数量关系由实验结果统计得出。

3)最优化方案的计算:本次计算采用具有人工变量的“罚款法”来完成。在解决线性规划问题时，当约束条件为“≤”时，可将约束条件标准化后直接求解。但是，当约束条件为“≥”或“=”时，经标准化后，约束方程组系数不存在单位矩阵，无法形成一个现成的初始基本解。这时需要在约束方程中引入非负的人工变量(artificialvariable)，构成单位矩阵。这种人工变量没有物理意义，仅是为了求解方程方便而引入，所以解的结果必然使这些变量为零，才能保持改变后的课题与原题等价，否则说明原题无解。处理人工变量的方法之一为“罚款法”。

(1)目标函数的建立

煤矸石、矿坑原水、黄土三个决策变量之间的函数表达关系基于前述四组实验(三种物质混合实验)的第24小时实验结果。其中黄土的掺入量用X₁表示;煤矸石的处理量用X₂表示;矿坑原水的处理量用X₃表示;三者混合液的pH值用X₄表示。相关数据见表4.18。

表4.18 决策变量的取值

研究发现，三者混合液的pH值与其他变量的统计关系均为非线性(图4.7)，经过多次试算，得到了最佳拟合结果:

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方程的R²=0.995，回归平方和SSR=0.132，残差平方和SSE=0.001。

图4.7 混合液的pH值与其他变量的统计曲线图

该数学模型表达了如下的物理含义:三者混合液的pH值大小是由黄土、矿坑原水、煤矸石相互作用的共同结果;矿坑原水数量越多，pH值越小，两者之间是负相关;黄土和煤矸石对pH值增大产生正的贡献;pH值的大小与三种物质量的多少不是简单的线性(比例)关系;从相关系数平方R²和残差平方和的数值来看，该数学模型证明了四个变量的对数值存在极好的线性统计关系，拟合效果也达到了相当高的精度，可用于进行内插计算。

经移项调整，式(4.3)变为

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将式(4.4)进行变量代换，得

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式中:Z=lnX₁+670.823;Z₂=lnX₂;Z₃=lnX₃;Z₄=lnX₄

利用式(4.5)，得到目标函数的数学表达式为

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(2)约束条件的数学表达

综合一体化的处理方案中，寻求最优方案必须满足以下四个条件。

A.煤矸石与黄土混合比

上述有关实验之所以将煤矸石与黄土的混合比限制在1∶1～100∶1之间，是基于以下考虑:黄土的加入可以提高煤矸石矿坑水的pH值。虽然加入量越多，改善效果越佳，但是，添加黄土过多又会使水中的其他组分浓度增高，增加黄土采挖、运输的费用，以及采土占地和固体废弃物(黄土+煤矸石)总量的增大;如果黄土用量过少，又达不到最终要求的pH值。所以黄土与煤矸石的最佳混合比应在上述范围内去寻找，即约束条件应为:X₂≥X₁。

B.固液比约束

煤矸石、黄土与矿坑原水以什么比例混合，既要考虑最终处理效果，又要考虑煤矸石和矿坑排水的实际生产能力。使产出的废物及时处理掉而不盈余积压，据调查，三号井矿坑水排出量一般为1728～2592m³/d，日处理能力按2500m³/d可满足要求。煤矸石的产量按原煤产量的1/3计算，年均为15×10⁴t，日产量约为410t，为了将多年已积存的煤矸石也逐步消化掉，日处理量按500t约束是可行的，于是约束条件可用下式表达:X₃≤2500，X₂≤500，1≤X₃/(X₂+X₁)≤5。

C.pH值的约束

按照国标规定，煤矿废水的排放其pH值应在6～9之间，为了避免中和剂(黄土)过多而带来的副作用，pH值以国标的下限为约束，即X₄≥6.0。

(3)最优化决策的数学表达形式

目标函数:

max(－Z)=1.23Z₂－85.133Z₃－8.85Z₄

约束条件:

－2.23Z₂+85.133Z₃+8.850Z₄≤670.823，即(X₂≥X₁);

Z₂≤6.21，即(X₂≤500);

Z₃≤7.824，即(X₃≤2500);

Z₄≥1.792，即(X₄≥6.0);

Z₂、Z₃、Z₄≥0。

采用单纯形法中的罚款法寻优计算，得最优解为Z₂=6.21，Z₃=7.824，Z₄=1.792，max(－Z)=－674.301，则Z=674.301。根据前述的变量代换关系，得到以下综合一体化的最优方案:日处理2499.9m³矿坑原水和497.7t煤矸石，只需掺加32.39t的黄土可使排放废水的pH值达6.001。从该方案中可以看出两点:①固液比为1∶4.71，煤矸石与黄土的混合比为15.4∶1，基本符合实验条件。②计算结果还表明，1kg黄土可同时处理77.2L矿坑原水和15.4kg煤矸石使之达到环保的要求。